三角関数【サイン・コサイン】のサインって何だっけ?|エクセルで計算してみる

サイン・コサイン

サイン・コサインは、円周上にある点Pの位置

三角関数」と呼ぶよ。

 

次の図で、点Pの位置がサイン(sin)とコサイン(cos)。

三角関数

原点(0,0)を中心にした単位円の、円周上にある点の座標を使ってcosθとsinθを決めたということ。よく使うものだから名前を付けたと思ってもいいよ。

(by 数学ガールの秘密のノート 丸い三角関数)

自分が知らないだけで、実はよく使われているものなんだね。

 

三角関数

POINT
  • 半径の長さ=1」の円を、「単位円」と呼ぶ
  • θシータ):角度
  • cosθコサイン・シータ):x座標
  • sinθサイン・シータ):y座標
  • (x,y)が、「点」の位置

ちなみに、原点Oは「Origin」、点Pは「Point」の頭文字だよ。

 

なお、x軸・y軸がある座標を、デカルト座標と呼びます。

 

デカルトがx軸・y軸を生み出したことで、図形が正確に書けるようになりました。

 

たとえば、下の図では。

点Pの位置は、x=1、y=0

サイン

POINT

「Y」には縦の棒があるから、「Y=タテ」と覚えよう。

 

 

では、点Pが円周上を動くと、y座標の数値はどうなるでしょう?

今回は主に、y=サイン・シータを確認してみます。

サインコサイン

sinθ(サインシータ)とは、yの位置のこと

POINT
「y=サインシータ」

 

まずは、わかりやすいところから。

サイン90度=1

円の半径の長さを「1」とすると。

角度シータが90度のとき、y=1

これは、わかりやすい。

 

POINT
「サイン90度=1」と表記する。

 

サイン180度=0

「180度のときは、0」

出発地点から見て、正反対にきたね。

「0度と対称」になるんだ。

 

POINT
「サイン180度=0」

 

サイン270度=-1

「270度のときは、-1」

「90度と対称」で、下側だからマイナスになるね。

 

POINT
「サイン270度=-1」

 

 

サイン360度=0

「サイン0度=0」と同じ。

ぐるっと一周すると、また0に戻る。

 

POINT
「サイン360度=0」

 

ここまでは、軸を見ただけでも、すぐにわかります。

問題は、それ以外。

ちょっと複雑な計算が必要。

 

サイン45度=0.7

45度は、ちょっと難しいぞ

 

点Pの位置を見ると、「0.5と1の中間くらい」ですね。

ピッタリの数字ではないため、見た目ではわかりません。

 

ここで登場するのが……

ピタゴラスの定理

 

なんだか懐かしい名前が出てきた。

 

これです!

ピタゴラスの定理

↓ 常にこういう法則になる

 

円の中に直角三角形を当てはめると……

  • a と b
    • = y
    • = 半径の長さ

 

↓ だから、こうなる

 

↓ さらに展開を重ねると、こうなる

 

ルート2の覚え方は……

ひと/よ/ひと/よ/に/ひと/み/ご/ろ

 

つまり。

1.41421356 ÷ 2 = 0.707…

 

ふぅ……、大変だ。

 

POINT
サイン45度は、0.7

 

すると、その対称は、とてもラクです。

サイン135度=0.7

135度と45度は、対称。

yの位置は、45度のときと変わらないんだな。

 

POINT
サイン135度は、0.7

 

その真下も、ラクです。

サイン225度=-0.7

サイン135度とサイン225度は、yの位置が縦に対称……

下側だからマイナスだ。

 

POINT
サイン225度は、-0.7

 

すると、その対称も……。

サイン315度=-0.7

225度と315度も、対称だ。

yの位置は、225度のときと変わらない。

 

POINT
サイン315度は、-0.7

 

対称って、すごいな。

 

サインシータのまとめ

円で一周させると、こうなる。

なんか、キレイだな。

 

三角関数は円関数といってもいいくらいだと思うな。だって、三角関数は、角度θから、円周上にある点のx座標(cosθ)とy座標(sinθ)を生み出すんだからね。

(by 数学ガールの秘密のノート 丸い三角関数)

 

 

ピタゴラスの定理を使って、サイン・シータを計算すると、こう。

サイン関数

ルートの中が、1ずつ増えていってるぞ。

数字って、不思議。

 

POINT

90度~180度は対称になるから、yは同じ。

180度~はマイナスすればいい。

 

サインカーブ

円周上での点Pの動きを表にするとこう。

きれいなカーブになってる。

 

エクセル関数

サイン・コサインは、エクセル関数で簡単に計算できます。

 

一度、「ラジアン」という弧度法に置きかえる必要があります。

サイン・コサインは、ラジアンから計算。

 

上の例での関数

  • =RADIANS(B2)
  • =COS(B1)
  • =SIN(B1)

いい時代だね。

 

結局、サインって何?

円周上における、点Pのy軸の位置。

コサインの場合は、x軸の位置。

 

コサインがx座標で、サインがy座標。点を回せば角度θ(シータ)が変わって、x座標とy座標もそれぞれ変わる。それだけのことなんだ。

(by 数学ガールの秘密のノート 丸い三角関数)

 

  • 点の位置を、(x,y)の数値で表わす
  • 原点Oの位置は、(0,0)
  • 点Pの位置は、(cosθ,sinθ)
  • θ(シータ)は、角度のこと

 

でも、それを知って、どうなるんだ?

 

x軸とy軸を発明したのは、デカルト。

デカルト座標があるおかげで、私たちは、きれいな図形を描くことが可能になりました。

もちろん、今はエクセルがあるから簡単ですが。

昔の人にとっては、大きな課題だったのです。

 

きれいな左右対称も描けるし。

円も描ける。

 

さまざまな数字の不思議も発見され、それによって、数学ひいては文明が大きく前進したそうです。

 

図形を描くたびに、デカルトすげ~! って気持ちになる。

 

知らないところで、いろんな人の恩恵を受けて生きているんですよね。

それを垣間見るだけでも、ふだんの何気ないルーチンワークが新鮮に思えてくるかもしれません。

 

私がこれまでに解決した個々の問題は、後に別の問題を解決するための法則となった

(by デカルト)

 

デカルトが残してくれた知識を活用し、自分はどんな問題を解決するのか。

 

「表」と「グラフ」は、どんな仕事をしてても、活用する場面が多いですよね。

エクセルがあれば、特に考えなくてもできることですが。

ちょっと理解しておくと、活用の幅が広がります。

 

 

【参考図書】

文系出身者の数学の学び直しには、このシリーズが一番オススメ。

 

 

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